Z 对该运永利皇宫注册网址算作成一个群

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文章关键词:永利皇宫注册网址,右零因子

  《近世代数》模拟试题2及答案。近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题 5 分,共 25 分) 1、在整数加群(Z,+)中,下列那个是单位元( ) 。 A 0 B 1 C -1 ) 。 D 1/n,n 是整数 2、下列说法不正确的是

  近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题 5 分,共 25 分) 1、在整数加群(Z,+)中,下列那个是单位元( ) 。 A 0 B 1 C -1 ) 。 D 1/n,n 是整数 2、下列说法不正确的是( 不 A G 只包含一个元 g,乘法是 gg=g。G 对这个乘法来说作成一个群 B G 是全体整数的集合,G 对普通加法来说作成一个群 C G 是全体有理数的集合,G 对普通加法来说作成一个群 D G 是全体自然数的集合,G 对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的是( ) 。 A 群 G 是指一个集合 B 环 R 是指一个集合 C 群 G 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元, 逆元存在 D 环 R 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元, 逆元存在 4、如果集合 M 的一个关系是等价关系,则不一定具备的是( )。 不 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 5、下列哪个不是 S 3 的共轭类 ( )。 A (1) B (123)(132)(23) , , C (123)(132) , D (12)(13)(23) , , 二、计算题(每题 10 分,共 30 分) 1.求 S={(12)(13)}在三次对称群 S 3 的正规化子和中心化子。 , 近世代数试题第 1 页 共 7 页 2.设 G={1,-1,i,-i},关于数的普通乘法作成一个群,求各 个元素的阶。 ? x, y ? 3.设 R 是由一切形如 ? ? 0,0 ? (x,y 是有理数)方阵作成的环,求 ? ? ? 出其右零因子。 近世代数试题第 2 页 共 7 页 三、证明题(每小题 15 分,共 45 分) ? x ,0 ? 1、设 R 是由一切形如 ? ? (x,y 是有理数)方阵作成的环,证 ? y ,0 ? ? ? ? 0,0 ? 明 ? ? 是其零因子。 ? 0,0 ? ? ? 2、设 Z 是整数集,规定 a·b=a+b-3。证明:Z 对此代数运算 作成一个群,并指出其单位元。 近世代数试题第 3 页 共 7 页 3、证明由整数集 Z 和普通加法构成的(Z,+)是无限阶循环群。 近世代数试题第 4 页 共 7 页 近世代数模拟试题答案 一、单项选择题(每题 5 分,共 25 分) 1. A 2. D 3. C 4. D 5. B 二、计算题(每题 10 分,共 30 分) 1. 解:正规化子 N(S)={(1)(23)}。。。。。。(6 分) , 。。。。。。 中心化子 C(S)={(1)}。。。。。。。。。(4 分) 。。。。。。。。。 2. 解:群 G 中的单位元是 1。。。。。。。。。永利皇宫注册网址。。。(2 分) 。。。。。。。。。。。。 1 的阶是 1,-1 的阶是 2,i 和-i 的阶是 4。。(4×2 分) 。。 3. 解:设其右零因子为 ? ? ? a,b ? ? 。。。。。。。。。。。。 分) ? 。。。。。。。。。。。(2 ? 0,0 ? 所以 ? ? ? x, y ? ? a,b ? ? xa, xb ? ?? ?=? ? =0。。。。。。。。 分) 。。。。。。。(3 ?? ? ? ? ? 0,0 ? ? 0,0 ? ? 0,0 ? 因为 x 任意,所以 a=b=0。。。。。。。。。。(3 分) 。。。。。。。。。。 因此右零因子为 ? ? ? 0,0 ? ? 。。。。。。。。。。。。(2 分) ? 。。。。。。。。。。。。 ? 0,0 ? 三、证明题(每小题 15 分共 45 分) 1.证明:设其右零因子为 ? ? ? a ,0 ? ? 。。。。。。。。。。。。 分) ? 。。。。。。。。。。。(2 ? b ,0 ? 近世代数试题第 5 页 共 7 页 所以 ? ? ? x ,0 ? ? ? ? y ,0 ? ? a,0 ? ? xa,0 ? ? ? =? 。。。。。。。。 ? b,0 ? ? yb,0 ? =0。。。。。。。。(5 分) ? ? ? ? ? 因为 x,y 任意,所以 a=b=0。。。。。。。。。 分) 。。。。。。。。(8 同理设其右零因子为 ? ? ? a ,0 ? ? 。。。。。。。。。。(10 分) ? 。。。。。。。。。。 ? b ,0 ? 所以 ? ? ? a,0 ? ? x,0 ? ? xa,0 ? ? ? ? =? ? =0。。。。。。。。(12 分) 。永利皇宫注册网址。。。。。。。 ?? ? ? ? ? b,0 ? ? y,0 ? ? yb,0 ? 因为 x,y 任意,所以 a=b=0。。。。。。。。。 。。。。。。。。(14 分) 因此零因子为 ? ? ? 0,0 ? ? 。。。。。。。。。。。。(15 分) ? 。。。。。。。。。。。。 ? 0,0 ? 2.明:首先该代数运算封闭。。。。。。。。。。(3 分) 。。。。。。。。。。 其次我们有: (a·b) ·c=(a+b-3) ·c=(a+b-3) +c-3=a+( (b+c-3)-3)=a· (b·c) ,结合律成 立。。。。。。。。。。。。。。。。。永利皇宫注册网址。。。。。。(6 分) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 令 e=3,验证 a·e=a+e-3=a,有单位元。。(7 分) 。。 对任意元素 a,6-a 是其逆元,因为 a· (6-a)=3。。 分) 。(8 因此,Z 对该运算作成一个群。 显然,单位元是 e=3。。。。。。。。。。。。。。。(10 分) 。。。。。。。。。。。。。。。 3.证明:首先证明(Z,+)是群,+满足结合律,对任意的 x ∈ Z , x + 0 = 0 + x = x ,0 是运算+的单位元 又由于: x + (? x ) = (? x ) + x = 0 。。。。(2 所以 x ?1 = ? x, 从而(Z,+)为群。。。。。 分) 由于 + 满足交换律,所以(Z,+)是交换群。。(4 分) 。。 (Z,+)的单位元为 0, 对于 1 ∈ Z ,由于 1+(-1)=0,所以 1?1 = ?1 ,。(5 分) 。。 于是对任意 k ∈ Z , 近世代数试题第 6 页 共 7 页 若 k = 0 ,则: 10 = 0 ; 若 k 0 ,则 1k = 1 + 1 + K + 1 = k 。。。。。。 分) 。。。。。(8 若 k 0 ,则 1k = 1? (? k ) = 1?1 ( ) ?k = (? 1) ?k = (?1) + (?1) + L + (?1) 144424443 ? k个 ?1 = (?1)(?k ) =k 。。。。。。。。。。。。。。。。(10 分) 。。。。。。。。。。。。。。。。 综上,有 1k = k , 对任意的 k ∈ Z . 因而, = 1k k ∈ Z , Z 从而(Z,+)是无限阶循环群。。。。。。。。。(15 分) 。。。。。。。。。 { } 近世代数试题第 7 页 共 7 页

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